GEOMETRÍA ANALÍTICA

*CÓNICAS : (superficie cónica de revolución, sección cónica)

Superficie: Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.

Generatriz: La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.

Vértice: El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.

Hojas: Las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.

Sección: Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

*PARÁBOLA:La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Elementos de la parábola:
(x – h)² = 4p(y – k)
x² – 2hx + h² = 4py – 4pk
x² – 2hx + h² – 4py + 4pk = 0
Ax² – 2Ahx + Ah² – 4Apy + 4Apk = 0
Ax² – 4Apy – 2Ahx – Ah² + 4Apk = 0
Ax² – 4Apy – 2Ahx + A(h² + 4pk) = 0
–4Ap = B
–2Ah = C
A(h² + 4pk) = D

Ax2 + Bx + Cy + D = 0

Ay2 + Bx + Cy + D = 0

1Foco: Es el punto fijo F.

2Directriz: Es la recta fija d.

3Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.

4Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

5Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.

6Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

ecuacion general de la parabola:

Para llegar a dicha expresión o forma general, es necesario desarrollar  algebraicamente la forma ordinaria o canónica de la ecuación.

Tomando como ejemplo la forma:

Desarrollando resulta:

Multiplicando la ecuación por un coeficiente “A” con la intención de generalizar, y considerando A ≠ 0, tendremos:

Reordenando:

Haciendo que los coeficientes de las variables sean:

Sustituyendo los coeficientes B, C y D en la ecuación, nos queda

que es la ecuación de una parábola horizontal en su forma general.

Análogamente, para una parábola de orientación vertical, la ecuación en su forma general será:

APLICACIONES DE LA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

*SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS: (resolución de un triangulo cuando se conocen la medida de un angulo de un lado;resolución de un triangulo cuando se conocen la medida de dos lados;angulo de elevación y depresión)

  

*solución de triángulos rectángulos:

resolver un triangulo consiste en hallar sus lados, ángulos y área.

para resolver un triangulo rectángulo se necesita conocer dos lados del triangulo, o bien un lado y un angulo distinto del recto.

dependiendo de los que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos rectángulos.

1. se conoce la hipotenusa y un cateto:

3.se conocen la hipotenusa y un angulo agudo

2. se conocen como dos catetos:

3.se conoce la hipotenusa y el angulo agudo:

   




 4.se conocen como un cateto y un angulo agudo:

*solución de triángulos no rectángulos: 

Existen dos leyes , LA LEY DEL SENO  y LA LEY DE COSENO.

LEY DE SENO:estable que la longitudes de los lados de los triángulos son proporcionales 

http://www.youtube.com/watch?v=yizdJXO2yME&feature=relmfu 

http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&NR=1&v=P7SaAtLSRGM

  

para solucionar triángulos no rectángulos , como los de la figura, denominado oblicuángulo 

al seno del angulo opuesto a cada lado.es decir,

 este se utiliza cuando se conoce :

A) dos angulos y un lado 

B)dos lados y el angulo opuesto a uno de  los lados 

http://www.youtube.com/watch?v=6N87t-3bqAo&feature=related 

LEY DEL COSENO: el cuadrado de un triángulos de un lado de un triangulo es igual a la suma de los cuadrados 

de los otros dos lados menos el doble del producto  de estos dos multiplicado por el coseno del angulo que forma 

a² = b² + c² – 2bc. Cos A

b² = a² + c² – 2ac. Cos B

c² = a² + b² – 2ab. Cos C

  Esta ley se utiliza cuando 

A)dos lados y un triangulo entre ellos 

B) tres lados 

http://www.youtube.com/watch?v=84FDKiXpUIU&feature=related 

 VECTORES:Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

Origen:O también denominado Punto de aplicación.Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

Módulo: Es la longitud o tamaño del vector.Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector,pues para saber cuál es el módulo del vector,debemos medir desde su origen hasta su extremo. 

Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

*angulo de dirección de un vector:

La dirección de un vector AB puede determinarse a través del ángulo que forma la recta que pasa por A y B con el eje OX. El valor del ángulo de inclinación a del vector u = (x,y) verifica que tg a =y/x (por tanto a = arctg (y/x))

*suma y resta de vectores:

Podemos servirnos del paralelogramo que consiste en colocar los dos vectores de modo que sus orígenes coincidan siendo los otros dos lados del paralelogramo las paralelas a cada uno de ellos:

Siendo a y b los vectores a sumar los unimos por sus orígenes y trazamos paralelas (color magenta) a cada uno de ellos creando un paralelogramo.

La diagonal(color negro) será el valor de la suma de dichos vectores

Otro método, disponiendo de papel cuadriculado es colocar un vector a continuación del otro y después, unir el origen de con el final de b.

SEGUNDO EJEMPLO:

Sumar más vectores no ofrece ninguna dificultad, es suficiente colocar el inicio del segundo vector a continuación del final del primero, inicio del tercero a partir del final del segundo y así, sucesivamente

RESTAR VECTORES:

Para realizar esta operación basta sumar el primero con el opuesto del segundo.

RESPUESTAS:

REALIZA LAS DOS RESTAS DE LOS SIGUIENTES PARES DE VECTORES:

RESPUESTAS:

COMPROBAR LOS RESULTADOS

Cada vez que queramos comprobar si las operaciones con vectores las hemos hecho bien, no tenemos más que realizar la operación correspondiente (sumar, restar, multiplicar,…) las coordenadas de cada uno de los vectores y ver si estas coordenadas coinciden con las del vector respuesta.

*VECTOR VELOCIDAD:

El vector velocidad es el vector que resulta del cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo que empleo el cuerpo en realizar dicho desplazamiento. El cociente es el resultado de una división, por si no lo recuerdas. El desplazamiento puede ser delta x, si se desplaza el cuerpo en forma horizontal, delta y si se desplaza en forma vertical y delta r si se desplaza en el plano.

*VECTOR FUERZA:La fuerza es una magnitud vectorial x que tiene dirección, sentido, modulo, etc. En un ejercicio es mas facil representarlo con un vector para tener a la mano sus características, todas representadas en un vector.

GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

*LINEAS TRIGONOMÉTRICAS

*gráficas de funciones trigonométricas: (gráficas de las funciones seno,coseno,tangente,cotangente,secante y cosecante.)

Las gráficas de las funciones trigonométricas  poseen propiedades matemáticas muy interesantes como máximo, mínimo, asíntotas (linea recta que se aproxima continuamente a una función o curva), alcance y periodo entre otras.

Es necesario estudiar la forma de la gráfica de cada función trigonométrica. Esta forma está asociada a las características particulares de cada función.

Al establecer relaciones entre dos conjuntos mediante las funciones trigonométricas se establecen relaciones como y=sen(x), y=cos(x), y=tan(x), y=cot(x), y=csc(x) o y=sec(x). La expresión en el paréntesis se denomina argumento de la función (dominio) mientras que y representa el alcance.

     Las gráficas de estas funciones se extienden sobre los ejes coordenados, si es sobre el eje de x, tienen la característica de repetirse por intervalos. Esto significa que cada cierta cantidad de radianes, una parte de la gráfica de la función es la misma (periodo). La extensión sobre el eje de y se conoce como alcance. Veamos cada función particular en detalle.

 El modelo de las gráficas de las funciones trigonométricas se obtiene evaluando la función para ángulos que forman una revolución completa.

Gráfica de la Función Seno del ángulo

El modelo de la gráfica de la función seno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función seno del ángulo utiliza la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función seno del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de abajo se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función seno del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la funcion seno del angulo x  a partir de la circunferencia unitaria.

Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las  características de la función Y=(x)

Su dominio es el conjunto de números reales.

Su alcance es el conjunto de números mayores o iguales que menos uno hasta los números menores o iguales que uno.

Su intercepto en el eje de y es el punto (0,0).

El eje de x será el eje de referencia.

El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π/2,1).

El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (3π/2,-1).

Su periodo es 2π.

Gráfica de la Función Coseno del ángulo

El modelo de la gráfica de la función coseno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función coseno del ángulo utiliza la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función coseno del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de abajo se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función coseno del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función del coseno  angulo x  a partir de la circunferencia unitaria.

Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la función y=cos(x)

Su dominio es el conjunto de números reales

Su alcance es el conjunto de números mayores o iguales que menos uno hasta los números menores o iguales que uno.

Su intercepto en el eje de y es el punto (0,1).

El eje de x será el eje de referencia.

El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (0,1) y (2π,1).

El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π,-1).

Su periodo es 2π.

Gráfica de la Función Tangente del ángulo

El modelo de la gráfica de la función tangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función tangente del ángulo es el cociente de la y y la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función tangente del ángulo comienza en -π/2 y termina en π/2. En la figura de la derecha se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función tangente del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función tangente del angulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Esta función tiene asíntotas en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de esta función.

Su dominio es toda x≠π/2±nπ.

Su alcance es el conjunto de todos los números reales.

Su intercepto en el eje de y es el punto (0,0).

El eje de x será el eje de referencia.

Las asíntotas del ciclo fundamental son x=±π/2.

Su periodo es π.

Gráfica de la Función Cotangente del ángulo

El modelo de la gráfica de la función cotangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función cotangente del ángulo es el cociente de la x y la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función cotangente del ángulo comienza en 0 y termina en π. En la figura de la derecha se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función cotangente del ángulo x.Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función cotangente del angulo x  a partir de la circunferencia unitaria.

Esta función tiene asíntotas en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de esta función.

Su dominio es toda x≠±nπ.

Su alcance es el conjunto de todos los números reales.

No tiene intercepto en el eje de y.

El eje de x será el eje de referencia.

Las asíntotas del ciclo fundamental son x=±nπ.

Su periodo es π.

Gráfica de la Función Secante del ángulo

El modelo de la gráfica de la función secante del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas o buscando los recíprocos de la función coseno. Recuerde que la función secante del ángulo es el recíproco de la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función secante del ángulo comienza en -π/2 y termina en 3π/2. En la figura de la derecha se observa la relación entre la función coseno y la gráfica de la función secante del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función secante del angulo x a partir de la gráfica de la función coseno del ángulo.

Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica. También tiene tres asíntotas verticales en su ciclo fundamental. Veamos las características de la gráfica de la función y=sec(x).

Su dominio es el conjunto de números reales excepto los múltiplos impares de π/2.

Su alcance es el conjunto de todos los números menores o iguales que menos uno y todos los números mayores o iguales que uno.

Su intercepto en el eje de y es el punto (0,1).

El eje de x será el eje de referencia.

El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π,-1).

El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (0, 1).

Las asíntotas del ciclo fundamental son las ecuaciones x=-π/2, x=π/2 y x=3π/2.

Su periodo es 2π.

Gráfica de la Función Cosecante del ángulo

El modelo de la gráfica de la función cosecante del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas o buscando los recíprocos de la función seno. Recuerde que la función cosecante del ángulo es el recíproco de la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función cosecante del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de la derecha se observa la relación entre la función seno y la gráfica de la función cosecante del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función cosecante del angulo x  a partir de la gráfica de la función seno del ángulo.

 Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica. También tiene tres asíntotas verticales en su ciclo fundamental. Veamos las características de la gráfica de la función y=csc(x).

Su dominio es el conjunto de números reales excepto los multiplos impares de π/2.

Su alcance es el conjunto de todos los números menores o iguales que menos uno y todos los números mayores o iguales que uno.

Su intercepto en el eje de y es el punto (0,1).

El eje de x será el eje de referencia.

El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π,-1).

El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (0, 1).

Las asíntotas del ciclo fundamental son las ecuaciones x=-π/2, x=π/2 y x=3π/2.

Su periodo es 2π.

*ANÁLISIS DE GRÁFICAS (traslación de funciones, reflexión de funciones, comprensión y alargamiento,amplitud,periodo,desfase)

análisis de gráficas:

en la gráfica y análisis de las funciones se estudian sus propiedades, para la cual se utilizan métodos algebraicos y gráficos que incluyen localización de puntos y desplazamientos horizontales y verticales.

traslación de funciones:se puede referir a lo que sigue de f(x) la traslación horizontal es:f(x+c) o f(x-c) y la traslación vertical es:f(x) donde c es una constante.

traslación vertical:

traslación horizontal:

reflexión de funciones:

eje x:

eje y:

comprensión y alargamiento:

comprensión horizontal:

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS:las funciones trigonométricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonométricas(coseno,seno,tangente)

arcoseno:

el arcoseno es la función inversa del seno, su composición es la identidad, es decir:

Su abreviatura es arcsen o sen-1.

arcocoseno: el arcocoseno es el inverso del coseno,es decir:Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:

Su abreviatura es arccos o cos-1.

arcotangente: la arcotangente es la función inversa de la tangente, es decir:

Su abreviatura es arctan o tan-1.